Let $K$ be a number field, and let $G$ be a finitely generated subgroup of $K^\times $. For every prime number $\ell $ and for all positive integers $m,n$ with $m\geqslant n$ we show that the structure of the Galois group of the Kummer extension $K(\zeta _{\ell ^m},\!\! \@root \ell ^n \of {G})/K(\zeta _{\ell ^m})$ only depends on $G$ through parameters that express divisibility properties over $K$ (respectively, over $K(\zeta _4)$ if $\ell =2$, $\zeta _4\notin K$, $m\ge 2$). Moreover, we describe an explicit finite procedure to compute at once the Galois group structure for all extensions $K(\zeta _{M},\!\! \@root N \of {G})/K(\zeta _{M})$ with $M,N$ positive integers such that $N\mid M$. Our work builds on results in Kummer theory by the last-named author joint with Debry, Hörmann, Perissinotto, Sgobba, and Tronto.
Soient $K$ un corps de nombres et $G$ un sous-groupe de type fini de $K^\times $. Pour tout nombre premier $\ell $ et pour tous entiers positifs $m,n$ avec $m \ge n$, la structure du groupe de Galois de l’extension de Kummer $K(\zeta _{\ell ^m}, \@root \ell ^n \of {G})/K(\zeta _{\ell ^m})$ dépend uniquement de $G$ à travers des paramètres qui expriment des propriétés de divisibilité sur $K$ (respectivement, sur $K(\zeta _4)$ si $\ell = 2$, $\zeta _4 \notin K$, $m \ge 2$). De plus, nous décrivons une procédure finie explicite pour calculer en une fois la structure du groupe de Galois pour toutes les extensions $K(\zeta _{M}, \@root N \of {G})/K(\zeta _{M})$ avec $M, N$ entiers positifs tels que $N \mid M$. Notre travail s’appuie sur des résultats en théorie de Kummer obtenus par le dernier auteur cité en collaboration avec Debry, Hörmann, Perissinotto, Sgobba et Tronto.
Keywords: Number field, Kummer theory, Cyclotomic-Kummer extension, Galois group.
Bryan Advocaat 1 ; Chi Wa Chan 1 ; Antigona Pajaziti 1 ; Flavio Perissinotto 1 ; Antonella Perucca 1
CC-BY-ND 4.0
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Bryan Advocaat; Chi Wa Chan; Antigona Pajaziti; Flavio Perissinotto; Antonella Perucca. Galois groups of Kummer extensions of number fields. Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2025), pp. 47-57. doi : 10.5802/pmb.61. https://pmb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/pmb.61/
[1] Cyclotomic fields and Kummer extensions, Algebraic Number Theory (John W. S. Cassels; Albrecht Fröhlich, eds.), Academic Press Inc., 1967, pp. 85-94 | Zbl
[2] The Magma algebra system. I. The user language, J. Symb. Comput., Volume 24 (1997) no. 3-4, pp. 235-265 | DOI | MR | Zbl
[3] Reductions of algebraic integers, J. Number Theory, Volume 167 (2016), pp. 259-283 | DOI | MR | Zbl
[4] Explicit Kummer theory for quadratic fields, JP J. Algebra Number Theory Appl., Volume 50 (2021) no. 2, pp. 151-178 | Zbl
[5] Explicit Kummer generators for cyclotomic extensions, JP J. Algebra Number Theory Appl., Volume 53 (2022) no. 1, pp. 69-84 | Zbl
[6] Unified treatment of Artin-type problems, Res. Number Theory, Volume 9 (2023) no. 1, 10, 20 pages | DOI | MR | Zbl
[7] Abstract Algebra: Theory and Application, Virginia Commonwealth University, Math Department, 2011
[8] Algebra, Springer, 2011 | MR
[9] Artin’s primitive root conjecture – a survey, Integers, Volume 12 (2012) no. 6, A13 (p. 1305–1416) | MR | Zbl
[10] Kummer theory for multiquadratic or quartic cyclic number fields, Unif. Distrib. Theory, Volume 17 (2022) no. 2, pp. 165-194 | DOI | MR | Zbl
[11] The order of the reductions of an algebraic integer, J. Number Theory, Volume 148 (2015), pp. 121-136 | DOI | MR | Zbl
[12] Kummer theory for number fields and the reductions of algebraic numbers, Int. J. Number Theory, Volume 15 (2019) no. 8, pp. 1617-1633 | DOI | MR | Zbl
[13] Addendum to: Reductions of algebraic integers, J. Number Theory, Volume 209 (2020), pp. 391-395 | MR | Zbl
[14] Kummer theory for number fields via entanglement groups, Manuscr. Math., Volume 169 (2022) no. 1-2, pp. 251-270 | DOI | MR | Zbl
[15] SageMath, the Sage Mathematics Software System (Version 9.8), 2023 (http://www.sagemath.org/)
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