The number of large prime factors of integers and normal numbers

Jean-Marie De Koninck; Imre Kátai

doi:10.5802/pmb.10

Jean-Marie De Koninck ; Imre Kátai

Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2015), pp. 5-12.

Résumé
Abstract

Dans une série d’articles, nous avons construit de grandes familles de nombres normaux en utilisant la concaténation des valeurs successives du plus grand facteur premier $P (n)$ , où $n$ parcourt certaines suites d’entiers positifs. Une approche similaire en utilisant la fonction plus petit facteur premier nous a aussi permis de construire d’autres familles de nombres normaux. En désignant par $ω (n)$ le nombre de nombres premiers distincts de $n$ , nous avons montré que la concaténation des valeurs successives de $| ω (n) - ⌊ log log n ⌋ |$ dans une base fixe $q \geq 2$ , où $n$ parcourt les entiers $n \geq 3$ , donne place à un nombre normal. Ici, nous démontrons le résultat suivant. Soit $q \geq 2$ un entier fixe. Étant donné un entier $n \geq n_{0} = max (q, 3)$ , soit $N$ l’unique entier positif satisfaisant $q^{N} \leq n < q^{N + 1}$ et désignons par $h (n, q)$ le résidu modulo $q$ du nombre de facteurs premiers distincts de $n$ situés dans l’intervalle $[log N, N]$ . En posant $x_{N} : = e^{N}$ , nous créons alors un nombre normal dans la base $q$ en utilisant la concaténation des nombres $h (n, q)$ , où $n$ parcourt les entiers $\geq x_{n_{0}}$ .

In a series of papers, we constructed large families of normal numbers using the concatenation of the values of the largest prime factor $P (n)$ , as $n$ runs through particular sequences of positive integers. A similar approach using the smallest prime factor function also allowed for the construction of normal numbers. Letting $ω (n)$ stand for the number of distinct prime factors of the positive integer $n$ , we then showed that the concatenation of the successive values of $| ω (n) - ⌊ log log n ⌋ |$ in a fixed base $q \geq 2$ , as $n$ runs through the integers $n \geq 3$ , yields a normal number. Here we prove the following. Let $q \geq 2$ be a fixed integer. Given an integer $n \geq n_{0} = max (q, 3)$ , let $N$ be the unique positive integer satisfying $q^{N} \leq n < q^{N + 1}$ and let $h (n, q)$ stand for the residue modulo $q$ of the number of distinct prime factors of $n$ located in the interval $[log N, N]$ . Setting $x_{N} : = e^{N}$ , we then create a normal number in base $q$ using the concatenation of the numbers $h (n, q)$ , as $n$ runs through the integers $\geq x_{n_{0}}$ .

Reçu le : 2014-03-03
Publié le : 2016-01-24

Zbl

DOI : 10.5802/pmb.10

Classification : 11K16, 11N37, 11N41
Mots clés : Normal numbers, number of prime factors

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TY  - JOUR
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Jean-Marie De Koninck; Imre Kátai. The number of large prime factors of integers and normal numbers. Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2015), pp. 5-12. doi : 10.5802/pmb.10. https://pmb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/pmb.10/

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Cité par Sources :

Publications Mathématiques de Besançon

Algèbre et Théorie des Nombres