In a series of papers, we constructed large families of normal numbers using the concatenation of the values of the largest prime factor , as runs through particular sequences of positive integers. A similar approach using the smallest prime factor function also allowed for the construction of normal numbers. Letting stand for the number of distinct prime factors of the positive integer , we then showed that the concatenation of the successive values of in a fixed base , as runs through the integers , yields a normal number. Here we prove the following. Let be a fixed integer. Given an integer , let be the unique positive integer satisfying and let stand for the residue modulo of the number of distinct prime factors of located in the interval . Setting , we then create a normal number in base using the concatenation of the numbers , as runs through the integers .
Dans une série d’articles, nous avons construit de grandes familles de nombres normaux en utilisant la concaténation des valeurs successives du plus grand facteur premier , où parcourt certaines suites d’entiers positifs. Une approche similaire en utilisant la fonction plus petit facteur premier nous a aussi permis de construire d’autres familles de nombres normaux. En désignant par le nombre de nombres premiers distincts de , nous avons montré que la concaténation des valeurs successives de dans une base fixe , où parcourt les entiers , donne place à un nombre normal. Ici, nous démontrons le résultat suivant. Soit un entier fixe. Étant donné un entier , soit l’unique entier positif satisfaisant et désignons par le résidu modulo du nombre de facteurs premiers distincts de situés dans l’intervalle . En posant , nous créons alors un nombre normal dans la base en utilisant la concaténation des nombres , où parcourt les entiers .
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DOI: 10.5802/pmb.10
Keywords: Normal numbers, number of prime factors
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TY - JOUR AU - Jean-Marie De Koninck AU - Imre Kátai TI - The number of large prime factors of integers and normal numbers JO - Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres PY - 2015 SP - 5 EP - 12 PB - Presses universitaires de Franche-Comté UR - https://pmb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/pmb.10/ DO - 10.5802/pmb.10 LA - en ID - PMB_2015____5_0 ER -
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Jean-Marie De Koninck; Imre Kátai. The number of large prime factors of integers and normal numbers. Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2015), pp. 5-12. doi : 10.5802/pmb.10. https://pmb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/pmb.10/
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