The number of large prime factors of integers and normal numbers
Publications Mathématiques de Besançon (2015), pp. 5-12.

Dans une série d’articles, nous avons construit de grandes familles de nombres normaux en utilisant la concaténation des valeurs successives du plus grand facteur premier P(n), où n parcourt certaines suites d’entiers positifs. Une approche similaire en utilisant la fonction plus petit facteur premier nous a aussi permis de construire d’autres familles de nombres normaux. En désignant par ω(n) le nombre de nombres premiers distincts de n, nous avons montré que la concaténation des valeurs successives de |ω(n)-loglogn| dans une base fixe q2, où n parcourt les entiers n3, donne place à un nombre normal. Ici, nous démontrons le résultat suivant. Soit q2 un entier fixe. Étant donné un entier nn 0 =max(q,3), soit N l’unique entier positif satisfaisant q N n<q N+1 et désignons par h(n,q) le résidu modulo q du nombre de facteurs premiers distincts de n situés dans l’intervalle [logN,N]. En posant x N :=e N , nous créons alors un nombre normal dans la base q en utilisant la concaténation des nombres h(n,q), où n parcourt les entiers x n 0 .

In a series of papers, we constructed large families of normal numbers using the concatenation of the values of the largest prime factor P(n), as n runs through particular sequences of positive integers. A similar approach using the smallest prime factor function also allowed for the construction of normal numbers. Letting ω(n) stand for the number of distinct prime factors of the positive integer n, we then showed that the concatenation of the successive values of |ω(n)-loglogn| in a fixed base q2, as n runs through the integers n3, yields a normal number. Here we prove the following. Let q2 be a fixed integer. Given an integer nn 0 =max(q,3), let N be the unique positive integer satisfying q N n<q N+1 and let h(n,q) stand for the residue modulo q of the number of distinct prime factors of n located in the interval [logN,N]. Setting x N :=e N , we then create a normal number in base q using the concatenation of the numbers h(n,q), as n runs through the integers x n 0 .

Reçu le : 2014-03-03
Publié le : 2016-01-24
DOI : https://doi.org/10.5802/pmb.10
Classification : 11K16,  11N37,  11N41
Mots clés: Normal numbers, number of prime factors
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     author = {Jean-Marie De Koninck and Imre K\'atai},
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     journal = {Publications Math\'ematiques de Besan\c con},
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Jean-Marie De Koninck; Imre Kátai. The number of large prime factors of integers and normal numbers. Publications Mathématiques de Besançon (2015), pp. 5-12. doi : 10.5802/pmb.10. https://pmb.centre-mersenne.org/item/PMB_2015____5_0/

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