Sur la comparaison entre les minima et les pentes
Publications Mathématiques de Besançon - Algèbre et Théorie des Nombres (2018), pp. 5-23.

On compare les minima et les pentes successifs d’un fibré vectoriel hermitien sur une courbe arithmétique et on démontre un encadrement uniforme de leurs différences. La preuve repose sur un principe général de comparaison des -filtrations et un lien entre la géométrie des fibrés vectoriels hermitiens et le problème de transfert en géométrie des nombres. Ce résultat s’applique à l’étude des invariants birationnels des fibrés en droites hermitiens sur une variété arithmétique projective.

One compares the successive minima and successive slopes of a Hermitian vector bundle over an arithmetic curve and establishes a uniform bound for their differences. The proof relies on a general comparison principle of -filtrations and a link between the geometry of Hermitian vector bundles and the transference problem in geometry of numbers. This result can be applied to study the birational invariants of Hermitian line bundles on an arithmetic projective variety.

Publié le :
DOI : https://doi.org/10.5802/pmb.20
Classification : 14G40,  11H50
Mots clés : Hermitian vector bundle, slopes, successive minima
@article{PMB_2018____5_0,
     author = {Huayi Chen},
     title = {Sur la comparaison entre les minima et les pentes},
     journal = {Publications Math\'ematiques de Besan\c con - Alg\`ebre et Th\'eorie des Nombres},
     pages = {5--23},
     publisher = {Presses universitaires de Franche-Comt\'e},
     year = {2018},
     doi = {10.5802/pmb.20},
     language = {fr},
     url = {https://pmb.centre-mersenne.org/item/PMB_2018____5_0/}
}
Chen, Huayi. Sur la comparaison entre les minima et les pentes. Publications Mathématiques de Besançon - Algèbre et Théorie des Nombres (2018), pp. 5-23. doi : 10.5802/pmb.20. https://pmb.centre-mersenne.org/item/PMB_2018____5_0/

[1] Wojciech Banaszczyk New bounds in some transference theorems in the geometry of numbers, Math. Ann., Tome 296 (1993) no. 4, pp. 625-635 | Article | MR 1233487 | Zbl 0786.11035

[2] Thomas Borek Successive minima and slopes of Hermitian vector bundles over number fields, J. Number Theory, Tome 113 (2005) no. 2, pp. 380-388 | Article | MR 2153282 | Zbl 1100.14513

[3] Jean-Benoît Bost Périodes et isogénies des variétés abéliennes sur les corps de nombres (d’après D. Masser et G. Wüstholz), Séminaire Bourbaki, Vol. 1994/95, Société Mathématique de France (Astérisque) Tome 237 (1996), 795, pp. 115-161 | MR 1423622 | Zbl 0936.11042

[4] Jean-Benoît Bost Algebraic leaves of algebraic foliations over number fields, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. (2001) no. 93, pp. 161-221 | Article | MR 1863738 | Zbl 1034.14010

[5] Jean-Benoît Bost; Klaus Künnemann Hermitian vector bundles and extension groups on arithmetic schemes. I. Geometry of numbers, Adv. Math., Tome 223 (2010) no. 3, pp. 987-1106 | Article | MR 2565554 | Zbl 1187.14027

[6] Sébastien Boucksom; Huayi Chen Okounkov bodies of filtered linear series, Compos. Math., Tome 147 (2011) no. 4, pp. 1205-1229 | Article | MR 2822867 | Zbl 1231.14020

[7] José Ignacio Burgos Gil; Patrice Philippon; Martín Sombra Successive minima of toric height functions, Ann. Inst. Fourier, Tome 65 (2015) no. 5, pp. 2145-2197 http://aif.cedram.org/item?id=aif_2015__65_5_2145_0 | MR 3449209 | Zbl 1369.14034

[8] Huayi Chen Géométrie d’Arakelov : théorèmes de limite et comptage des points rationnels (Mémoire d’habilitation à diriger des recherches, Université Paris Diderot, 2011)

[9] Huayi Chen Arithmetic Fujita approximation, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Tome 43 (2010) no. 4, pp. 555-578 | Article | MR 2722508 | Zbl 1202.14024

[10] Huayi Chen Convergence des polygones de Harder-Narasimhan, Mém. Soc. Math. Fr., Nouv. Sér. (2010) no. 120, 116 pages | MR 2768967 | Zbl 1208.14001

[11] Huayi Chen Differentiability of the arithmetic volume function, J. Lond. Math. Soc., Tome 84 (2011) no. 2, pp. 365-384 | Article | MR 2835335 | Zbl 1228.14022

[12] Éric Gaudron Pentes des fibrés vectoriels adéliques sur un corps global, Rend. Semin. Mat. Univ. Padova, Tome 119 (2008), pp. 21-95 | Article | MR 2431505 | Zbl 1206.14047

[13] Éric Gaudron Géométrie des nombres adélique et lemmes de Siegel généralisés, Manuscr. Math., Tome 130 (2009) no. 2, pp. 159-182 | Article | MR 2545512 | Zbl 1231.11076

[14] Éric Gaudron Minima and slopes of rigid adelic spaces (2017) (Notes de cours de l’école d’été « Géométrie d’Arakelov et applications diophantiennes », Grenoble)

[15] Éric Gaudron; Gaël Rémond Corps de Siegel, J. Reine Angew. Math., Tome 726 (2017), pp. 187-247 | Article | MR 3641657 | Zbl 1385.11046

[16] Daniel R. Grayson Reduction theory using semistability, Comment. Math. Helv., Tome 59 (1984) no. 4, pp. 600-634 | Article | MR 780079 | Zbl 0564.20027

[17] Günter Harder; Mudumbai S. Narasimhan On the cohomology groups of moduli spaces of vector bundles on curves, Math. Ann., Tome 212 (1974/75), pp. 215-248 | Article | MR 0364254 | Zbl 0324.14006

[18] Hideaki Ikoma Boundedness of the successive minima on arithmetic varieties, J. Algebr. Geom., Tome 22 (2013) no. 2, pp. 249-302 | Article | MR 3019450 | Zbl 1273.14048

[19] Robert Lazarsfeld; Mircea Mustaţă Convex bodies associated to linear series, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Tome 42 (2009) no. 5, pp. 783-835 | Article | MR 2571958 | Zbl 1182.14004

[20] Damien Roy; Jeffrey Lin Thunder An absolute Siegel’s lemma, J. Reine Angew. Math., Tome 476 (1996), pp. 1-26 (addendum and erratum in ibid. 508 (1999), p. 47-51.) | Article | MR 1401695 | Zbl 0860.11036

[21] Christophe Soulé Hermitian vector bundles on arithmetic varieties, Algebraic geometry (Santa Cruz 1995), American Mathematical Society (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics) Tome 62 (1997), pp. 383-419 | MR 1492529 | Zbl 0926.14011

[22] Ulrich Stuhler Eine Bemerkung zur Reduktionstheorie quadratischer Formen, Arch. Math., Tome 27 (1976) no. 6, pp. 604-610 | Article | MR 0424707 | Zbl 0338.10024