Sur les minima des formes hamiltoniennes binaires définies positives

Gaëtan Chenevier; Frédéric Paulin

doi:10.5802/pmb.39

Sur les minima des formes hamiltoniennes binaires définies positives
[On the minima of positive definite binary Hamiltonian forms]

Gaëtan Chenevier ¹; Frédéric Paulin ¹

¹ Laboratoire de Mathématiques d’Orsay, UMR 8628 CNRS, Université Paris-Saclay, F-91405 Orsay, France

Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2020), pp. 5-25.

Abstract
Résumé

Let $A$ be a definite quaternion algebra over $ℚ$ , with discriminant $D_{A}$ , and $𝒪$ a maximal order of $A$ . We show that the minimum of the positive definite Hamiltonian binary forms over $𝒪$ with discrimiminant $- 1$ is $\sqrt{D_{A}}$ . When the different of $𝒪$ is principal, we provide an explicit form representing this minimum, and when $𝒪$ is principal, we give the list of the equivalence classes of all such forms. We also give criteria and algorithms to determine when the different of $𝒪$ is principal.

Étant donné un ordre maximal $𝒪$ d’une algèbre de quaternions rationnelle définie $A$ de discriminant $D_{A}$ , nous montrons que le minimum des formes hamiltoniennes binaires sur $𝒪$ , définies positives et de discriminant $- 1$ , est $\sqrt{D_{A}}$ . Lorsque la différente de $𝒪$ est principale, nous explicitons une forme atteignant cette valeur, et lorsque $𝒪$ est principal, nous donnons la liste exacte des formes atteignant cette valeur. Nous donnons des critères et des algorithmes pour déterminer quand la différente de $𝒪$ est principale.

Published online: 2021-05-12

DOI: 10.5802/pmb.39

Classification: 11E39, 11R52, 11L05, 16H20, 11E20
Keywords: Quaternion algebra, binary Hamiltonian form, maximal order, Euclidean lattice

Author's affiliations:

Gaëtan Chenevier ¹; Frédéric Paulin ¹

¹ Laboratoire de Mathématiques d’Orsay, UMR 8628 CNRS, Université Paris-Saclay, F-91405 Orsay, France

License:

CC-BY-ND 4.0

Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights

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Gaëtan Chenevier; Frédéric Paulin. Sur les minima des formes hamiltoniennes binaires définies positives. Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2020), pp. 5-25. doi : 10.5802/pmb.39. https://pmb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/pmb.39/

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Cited by Sources:

Publications Mathématiques de Besançon

Algèbre et Théorie des Nombres