The slope filtration of Euclidean lattices was introduced in works by Stuhler in the late 1970s, extended by Grayson a few years later, as a new tool for reduction theory and its applications to the study of arithmetic groups. Lattices with trivial filtration are called semistable, in keeping with a classical terminology. In 1997, Bost conjectured that the tensor product of semistable lattices should be semistable itself. Our aim in this work is to study these questions for the restricted class of isodual lattices. Such lattices appear in a wide range of contexts, and it is rather natural to study their slope filtration. We exhibit specific properties in this case, which allow, in turn, to prove some new particular cases of Bost’s conjecture.
La filtration par les pentes a été introduite par Stuhler dans ses travaux à la fin des années 1970, puis étendue par Grayson quelques années plus tard, comme nouvel outil pour étudier la théorie de la réduction et ses applications à l’étude des groupes arithmétiques. Les réseaux munis d’une filtration triviale sont appelés semi-stables, suivant une terminologie classique. En 1997, Bost a conjecturé que le produit tensoriel de réseaux semi-stables devrait être semi-stable. Notre but dans ce travail est d’étudier ces questions pour les réseaux isoduaux. De tels réseaux apparaissent dans un grand nombre de situations et il est naturel d’étudier leur filtration par les pentes. Nous exhibons des propriétés particulières de ces réseaux qui nous permettent de démontrer de nouveaux cas de la conjecture de Bost.
Mots-clés : lattices, height, rigid adelic spaces, tensor product
Renaud Coulangeon 1
CC-BY-ND 4.0
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Renaud Coulangeon. On slopes of isodual lattices. Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2023), pp. 29-48. doi : 10.5802/pmb.48. https://pmb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/pmb.48/
[1] Slope filtrations, Confluentes Math., Volume 1 (2009) no. 1, pp. 1-85 | DOI | MR | Zbl
[2] On nef and semistable Hermitian lattices, and their behaviour under tensor product, Tôhoku Math. J., Volume 63 (2011) no. 4, pp. 629-649 | MR | Zbl
[3] Périodes et isogenies des variétés abéliennes sur les corps de nombres (d’après D. Masser et G. Wüstholz), Séminaire Bourbaki. Volume 1994/95. Exposés 790-804 (Astérisque), Volume 1994, Société Mathématique de France, 1996, pp. 115-161 | Zbl
[4] Hermitian vector bundle and stability, 1997 (lecture at the conference “Algebraische Zahlentheorie”, Oberwolfach)
[5] Concerning the semistability of tensor products in Arakelov geometry, J. Math. Pures Appl., Volume 99 (2013) no. 4, pp. 436-488 | DOI | MR | Zbl
[6] On the period matrix of a Riemann surface of large genus, Invent. Math., Volume 117 (1994) no. 1, pp. 27-56 (with an appendix by J. H. Conway and N. J. A. Sloane) | DOI | MR
[7] On lattices equivalent to their duals, J. Number Theory, Volume 48 (1994) no. 3, pp. 373-382 | DOI | MR | Zbl
[8] Slopes of Euclidean lattices, tensor product and group actions, Isr. J. Math., Volume 235 (2020) no. 1, pp. 39-61 | DOI | MR | Zbl
[9] Minima and slopes of rigid adelic spaces, Arakelov geometry and diophantine applications (Lecture Notes in Mathematics), Volume 2276, Springer, 2021, pp. 37-76 | DOI | MR | Zbl
[10] Minima, pentes et algèbre tensorielle, Isr. J. Math., Volume 195 (2013) no. 2, pp. 565-591 | DOI | Zbl
[11] Corps de Siegel, J. Reine Angew. Math., Volume 726 (2017), pp. 187-247 | DOI | MR | Zbl
[12] Reduction theory using semistability, Comment. Math. Helv., Volume 59 (1984) no. 4, pp. 600-634 | DOI | MR | Zbl
[13] Reduction theory using semistability. II, Comment. Math. Helv., Volume 61 (1986) no. 4, pp. 661-676 | DOI | MR | Zbl
[14] On the cohomology groups of moduli spaces of vector bundles on curves, Math. Ann., Volume 212 (1974), pp. 215-248 | MR
[15] Projective invariants of projective structures and applications, Proceedings of International Congress of Mathematicians (Stockholm, 1962), Institut Mittag-Leffler, 1962, pp. 526-530
[16] Stable and unitary vector bundles on a compact Riemann surface, Ann. Math., Volume 82 (1965), pp. 540-567 | DOI | MR | Zbl
[17] Introduction to quadratic forms, Classics in Mathematics, Springer, 1973 (reprint of the 1973 edition) | DOI
[18] Action de groupe et semi-stabilité du produit tensoriel, Confluentes Math., Volume 11 (2019) no. 1, pp. 53-57 | DOI | Numdam | Zbl
[19] Eine Bemerkung zur Reduktionstheorie quadratischer Formen, Arch. Math., Volume 27 (1976) no. 6, pp. 604-610 | DOI | MR | Zbl
[20] Zur Reduktionstheorie der positiven quadratischen Formen. II, Arch. Math., Volume 28 (1977) no. 6, pp. 611-619 | DOI | MR | Zbl
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