Kummer theory for products of one-dimensional tori

Flavio Perissinotto; Antonella Perucca

doi:10.5802/pmb.51

Flavio Perissinotto ¹; Antonella Perucca ¹

¹ Department of Mathematics, University of Luxembourg, 6 av. de la Fonte, 4364 Esch-sur-Alzette, Luxembourg

Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2023), pp. 109-119.

Abstract
Résumé

Let $T$ be a finite product of one-dimensional tori defined over a number field $K$ . We consider the torsion-Kummer extension $K (T [n t], \frac{1}{n} G)$ , where $n, t$ are positive integers and $G$ is a finitely generated group of $K$ -points on $T$ . We show how to compute the degree of $K (T [n t], \frac{1}{n} G)$ over $K$ and how to determine whether $T$ is split over such an extension. If $K = ℚ$ , then we may compute at once the degree of the above extensions for all $n$ and $t$ .

Soit $T$ un produit fini de tores de dimension un sur un corps de nombres $K$ . Nous considérons l’extension de torsion-Kummer $K (T [n t], \frac{1}{n} G)$ , où $n, t$ sont des entiers strictement positifs et $G$ un groupe de type fini engendré par des $K$ -points de $T$ . Nous montrons comment l’on peut calculer le degré de $K (T [n t], \frac{1}{n} G)$ sur $K$ . Nous montrons également comment déterminer si $T$ est déployé sur une telle extension. Lorsque $K = ℚ$ , nous pouvons calculer en une seule fois les degrés de toutes les extensions ci-dessus pour tous les $n$ et tous les $t$ .

Published online: 2023-06-15

DOI: 10.5802/pmb.51

Classification: 20G30, 11Y40
Keywords: tori, one-dimensional tori, Kummer theory, number field.

Author's affiliations:

Flavio Perissinotto ¹; Antonella Perucca ¹

¹ Department of Mathematics, University of Luxembourg, 6 av. de la Fonte, 4364 Esch-sur-Alzette, Luxembourg

License:

CC-BY-ND 4.0

Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights

@article{PMB_2023____109_0,
     author = {Flavio Perissinotto and Antonella Perucca},
     title = {Kummer theory for products of one-dimensional tori},
     journal = {Publications math\'ematiques de Besan\c{c}on. Alg\`ebre et th\'eorie des nombres},
     pages = {109--119},
     publisher = {Presses universitaires de Franche-Comt\'e},
     year = {2023},
     doi = {10.5802/pmb.51},
     language = {en},
     url = {https://pmb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/pmb.51/}
}

TY  - JOUR
AU  - Flavio Perissinotto
AU  - Antonella Perucca
TI  - Kummer theory for products of one-dimensional tori
JO  - Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres
PY  - 2023
SP  - 109
EP  - 119
PB  - Presses universitaires de Franche-Comté
UR  - https://pmb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/pmb.51/
DO  - 10.5802/pmb.51
LA  - en
ID  - PMB_2023____109_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Flavio Perissinotto
%A Antonella Perucca
%T Kummer theory for products of one-dimensional tori
%J Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres
%D 2023
%P 109-119
%I Presses universitaires de Franche-Comté
%U https://pmb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/pmb.51/
%R 10.5802/pmb.51
%G en
%F PMB_2023____109_0

Flavio Perissinotto; Antonella Perucca. Kummer theory for products of one-dimensional tori. Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2023), pp. 109-119. doi : 10.5802/pmb.51. https://pmb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/pmb.51/

References
Cited by

[1] Christophe Debry; Antonella Perucca Reductions of algebraic integers, J. Number Theory, Volume 167 (2016), pp. 259-283 | DOI | MR | Zbl

[2] Flavio Perissinotto; Antonella Perucca Kummer theory for multiquadratic or quartic cyclic number fields, Unif. Distrib. Theory, Volume 17 (2022) no. 2, pp. 165-194 | DOI | MR | Zbl

[3] Antonella Perucca Reductions of one-dimensional tori, Int. J. Number Theory, Volume 13 (2017) no. 1, pp. 1473-1489 | DOI | MR | Zbl

[4] Kenneth A. Ribet Kummer Theory on Extensions of Abelian Varieties by Tori, Duke Math. J., Volume 46 (1979) no. 4, pp. 745-761 | MR | Zbl

[5] Andrzej Schinzel Abelian binomials, power residues and exponential congruences, Acta Arith., Volume 32 (1977) no. 3, pp. 245-274 addendum in ibid. 36 (1980), p. 939-970 | DOI | MR | Zbl

[6] Valentin E. Voskresenskiĭ Algebraic Groups and Their Birational Invariants, Translations of Mathematical Monographs, 179, American Mathematical Society, 1998

[7] Lawrence C. Washington Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83, Springer, 1982 | DOI

Cited by Sources:

Publications Mathématiques de Besançon

Algèbre et Théorie des Nombres