Prismatic $F$-crystals and $E$-crystalline Galois representations

Dat Pham

doi:10.5802/pmb.62

Dat Pham ¹

¹ LAGA, Université Paris 13, 99 Avenue Jean-Baptiste Clément, 93430 Villetaneuse, France

Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2025), pp. 59-96.

Abstract (VO)
Résumé

Let $K$ be a complete discretely valued field of mixed characteristic $(0,p)$ with perfect residue field, and let $E$ be a finite extension of $\mathbb{Q}_p$ contained in $K$. We show that the category of prismatic $F$-crystals on $Ø_K$ (relative to $E$ in a suitable sense) is equivalent to the category of $Ø_E$-lattices in $E$-crystalline $G_K$-representations introduced by Kisin–Ren, extending a previous result of Bhatt–Scholze in the case $E=\mathbb{Q}_p$. As a key ingredient in the proof, by adapting a lemma of Du–Liu we prove a general full faithfulness result for certain vector bundles on the prismatic site, which simplifies and refines the key descent step in the approach of Bhatt–Scholze without invoking the Beilinson fibre sequence.

Soit $K/\mathbb{Q}_p$ un corps complet à valeurs discrètes avec corps résiduel parfait, et soit $E$ une extension finie de $\mathbb{Q}_p$ contenue dans $K$. Nous montrons que la catégorie des $F$-cristaux prismatiques sur $Ø_K$ (relativement à $E$ dans un sens approprié) est équivalente à la catégorie des $Ø_E$-réseaux dans les $G_K$-représentations $E$-cristallines introduite par Kisin–Ren, étendant un résultat précédent de Bhatt–Scholze dans le cas $E=\mathbb{Q}_p$. Comme ingrédient clé de la preuve, en adaptant un lemme de Du–Liu, nous prouvons un résultat général de pleine fidélité pour certains fibrés vectoriels sur le site prismatique, ce qui simplifie et raffine une étape clé dans l’approche de Bhatt–Scholze sans invoquer la séquence de fibres de Beilinson.

Publié le : 2025-08-28

DOI : 10.5802/pmb.62

Classification : 11F80
Keywords: prismatic $F$-crystals, crystalline Galois representations

Affiliations des auteurs :

Dat Pham ¹

¹ LAGA, Université Paris 13, 99 Avenue Jean-Baptiste Clément, 93430 Villetaneuse, France

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Dat Pham. Prismatic $F$-crystals and $E$-crystalline Galois representations. Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2025), pp. 59-96. doi : 10.5802/pmb.62. https://pmb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/pmb.62/

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