Publications Mathématiques de Besançon

Algèbre et Théorie des Nombres
Exponentielle tronquée et autres contes galoisiens
Patrick Rabarison1 ; Fabien Pazuki2, 3 ; Pascal Molin4
1 Université d’Antananarivo, Départment de Mathématiques et d’Informatique, BP 906 - Antananarivo 101 - Madagascar
2 University of Copenhagen, Institute of Mathematics, Universitetsparken 5, 2100 Copenhagen, Denmark
3 Université de Bordeaux, IMB, 351, cours de la Libération, 33400 Talence, France
4 Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris rive gauche UMR7586, 75013 Paris, France
Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2024), pp. 105-117.

Nous faisons un tour d’horizon de résultats sur les groupes de Galois de troncatures de séries entières, avec la série exponentielle comme figure de proue. On propose ensuite de nouvelles explorations avec des calculs explicites de groupes de Galois d’approximants de Padé qui semblent jouir, eux aussi, de propriétés intéressantes.

We give a survey of results on the Galois group of polynomials obtained by truncation of power series, the main example being the exponential series. We also present some evidence of a new phenomena: Galois groups of Padé approximation polynomials seem to have special properties as well.

Reçu le :
Révisé le :
Publié le :
DOI : 10.5802/pmb.57
Classification : 11R32, 12F12
Mot clés : Groupes de Galois. Séries entières. Approximants de Padé
Keywords: Galois groups. Power series. Padé approximation
Patrick Rabarison 1 ; Fabien Pazuki 2, 3 ; Pascal Molin 4

1 Université d’Antananarivo, Départment de Mathématiques et d’Informatique, BP 906 - Antananarivo 101 - Madagascar
2 University of Copenhagen, Institute of Mathematics, Universitetsparken 5, 2100 Copenhagen, Denmark
3 Université de Bordeaux, IMB, 351, cours de la Libération, 33400 Talence, France
4 Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris rive gauche UMR7586, 75013 Paris, France
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
@article{PMB_2024____105_0,
     author = {Patrick Rabarison and Fabien Pazuki and Pascal Molin},
     title = {Exponentielle tronqu\'ee et autres contes galoisiens},
     journal = {Publications math\'ematiques de Besan\c{c}on. Alg\`ebre et th\'eorie des nombres},
     pages = {105--117},
     publisher = {Presses universitaires de Franche-Comt\'e},
     year = {2024},
     doi = {10.5802/pmb.57},
     language = {fr},
     url = {https://pmb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/pmb.57/}
}
TY  - JOUR
AU  - Patrick Rabarison
AU  - Fabien Pazuki
AU  - Pascal Molin
TI  - Exponentielle tronquée et autres contes galoisiens
JO  - Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres
PY  - 2024
SP  - 105
EP  - 117
PB  - Presses universitaires de Franche-Comté
UR  - https://pmb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/pmb.57/
DO  - 10.5802/pmb.57
LA  - fr
ID  - PMB_2024____105_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Patrick Rabarison
%A Fabien Pazuki
%A Pascal Molin
%T Exponentielle tronquée et autres contes galoisiens
%J Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres
%D 2024
%P 105-117
%I Presses universitaires de Franche-Comté
%U https://pmb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/pmb.57/
%R 10.5802/pmb.57
%G fr
%F PMB_2024____105_0
Patrick Rabarison; Fabien Pazuki; Pascal Molin. Exponentielle tronquée et autres contes galoisiens. Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2024), pp. 105-117. doi : 10.5802/pmb.57. https://pmb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/pmb.57/

[1] Shabnam Akhtari; N. Saradha Irreducibility of some orthogonal polynomials, Indag. Math., New Ser., Volume 21 (2011) no. 3-4, pp. 127-137 | DOI | MR | Zbl

[2] Gregory Butler; John McKay The transitive groups of degree up to eleven, Commun. Algebra, Volume 11 (1996) no. 7, pp. 863-911 | MR | Zbl

[3] John W. S. Cassels Local Fields, London Mathematical Society Student Texts, 3, Cambridge University Press, 1986, xiv+360 pages | DOI

[4] Antoine Chambert-Loir The theorem of Jentzsch–Szegő on an analytic curve : application to the irreducibility of truncations of power series, Int. J. Number Theory, Volume 7 (2011) no. 7, pp. 1807-1823 | DOI | Zbl

[5] Robert F. Coleman On the Galois groups of the exponential Taylor polynomials, Enseign. Math., Volume 33 (1987), pp. 183-189 | MR | Zbl

[6] Keith Conrad Irreducibility of truncated exponentials (notes de cours en ligne disponibles sur https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/)

[7] John Cullinan On the jacobians of curves defined by the generalized Laguerre polynomials, Exp. Math., Volume 28 (2019), pp. 223-232 | DOI | MR | Zbl

[8] John Cullinan; Farshid Hajir On the Galois groups of Legendre polynomials, Indag. Math., Volume 25 (2014) no. 3, pp. 534-552 | DOI | MR | Zbl

[9] John Cullinan; Farshid Hajir; Elizabeth Sell Algebraic properties of a family of Jacobi polynomials, J. Théor. Nombres Bordeaux, Volume 21 (2009) no. 1, pp. 97-108 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[10] John Cullinan; Elizabeth Sell On the arithmetic of Padé approximants to the exponential function, J. Ramanujan Math. Soc., Volume 37 (2022) no. 3, pp. 207-219 | Zbl

[11] Michael Filaseta; Tsit-Yuen Lam On the irreducibility of the generalized Laguerre polynomials, Acta Arith., Volume 105 (2002) no. 2, pp. 177-182 | DOI | MR | Zbl

[12] Michael Filaseta; Ognian Trifonov The irreducibility of the Bessel polynomials, J. Reine Angew. Math., Volume 550 (2002), pp. 125-140 | MR | Zbl

[13] Farshid Hajir Algebraic properties of a family of generalized Laguerre polynomials, Can. J. Math., Volume 61 (2009) no. 3, pp. 583-603 | DOI | MR | Zbl

[14] Farshid Hajir; Siman Wong Specializations of one-parameter families of polynomials, Ann. Inst. Fourier, Volume 56 (2006) no. 6, pp. 1127-1163 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[15] Christian U. Jensen; Arne Ledet; Noriko Yui Generic Polynomials, constructive aspects of the inverse Galois problem, Mathematical Sciences Research Institute Publications, 45, Cambridge University Press, 2002, ix+258 pages

[16] The LMFDB Collaboration The L-functions and Modular Forms Database, home page of the Galois groupe, 2024 (http://www.lmfdb.org/GaloisGroup)

[17] Peter Müller Finiteness results for Hilbert’s irreducibility theorem, Ann. Inst. Fourier, Volume 52 (2002) no. 4, pp. 983-1015 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[18] Henri Padé Sur la répresentation approchée d’une fonction par des fractions rationnelles, Ann. de l’Éc. Norm. (3), Volume 9 (1892), pp. 3-93 | Numdam | Zbl

[19] The PARI Group PARI/GP version 2.11.2, 2019 (available from http://pari.math.u-bordeaux.fr/)

[20] Issai Schur Einige Sätze über Primzahlen mit Anwendungen auf Irreduzibilitätsfragen I, Sitzungsber. Preuß. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., Volume 1929 (1929), pp. 125-136 | Zbl

[21] Issai Schur Einige Sätze über Primzahlen mit Anwendungen auf Irreduzibilitätsfragen II, Sitzungsber. Preuß. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., Volume 1929 (1929), pp. 370-391 | Zbl

[22] Issai Schur Gleichungen ohne Affekt, Sitzungsber. Preuß. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., Volume 1930 (1930), pp. 443-449 | Zbl

[23] Issai Schur Affektlose Gleichungen in der Theorie der Laguerreschen und Hermiteschen Polynome, J. Reine Angew. Math., Volume 165 (1931), pp. 52-58 | DOI | MR | Zbl

[24] Khosro Monsef Shokri; Jafar Shaffaf; Reza Taleb Galois groups of Taylor polynomials of some elementary functions, Int. J. Number Theory, Volume 15 (2019) no. 6, pp. 1127-1141 | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :