Sur le module de Bertrandias–Payan dans une $p$-extension – Noyau de capitulation

Georges Gras

doi:10.5802/pmb.o-3

Sur le module de Bertrandias–Payan dans une

p

-extension – Noyau de capitulation

Georges Gras

Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2016), pp. 25-44.

Résumé
Abstract

Pour un corps de nombres $K$ et un nombre premier $p$ on désigne par $B P_{K}$ le composé des $p$ -extensions cycliques de $K$ plongeables dans une $p$ -extension cyclique de degré arbitrairement grand. L’extension $B P_{K} / K$ est $p$ -ramifiée et extension finie du composé $\tilde{K}$ des $ℤ_{p}$ -extensions de $K$ . Le groupe ${ℬ 𝒫}_{K} : = Gal (B P_{K} / \tilde{K})$ est appelé le module de Bertrandias–Payan. Nous étudions l’application transfert $j_{L / K}^{} : {ℬ 𝒫}_{K} \to {ℬ 𝒫}_{L}$ (comme morphisme de capitulation de classes d’idéaux) dans une $p$ -extension $L / K$ . Dans le cas cyclique de degré $p$ , nous prouvons que $j_{L / K}^{}$ est injectif sauf si $L / K$ est kummerienne, $p$ -ramifiée, non globalement cyclotomique mais localement cyclotomique en $p$ (théorème 3.1). Nous donnons une formule explicite (théorème 5.2) pour $| {ℬ 𝒫}_{L}^{G} | . | {ℬ 𝒫}_{K} |^{- 1}$ et montrons de quelle façon son intégralité dépend du groupe de torsion $𝒯_{L}$ du groupe de Galois de la pro- $p$ -extension abélienne $p$ -ramifiée maximale de $L$ , en utilisant un logarithme $p$ -adique convenable.

For a number field $K$ and a prime number $p$ we denote by $B P_{K}$ the compositum of the cyclic $p$ -extensions of $K$ which are embeddable into a cyclic $p$ -extension of arbitrary large degree. The extension $B P_{K} / K$ is $p$ -ramified and is a finite extension of the compositum $\tilde{K}$ of the $ℤ_{p}$ -extensions of $K$ . The group ${ℬ 𝒫}_{K} : = Gal (B P_{K} / \tilde{K})$ is called the Bertrandias–Payan module. We study the transfer map $j_{L / K}^{} : {ℬ 𝒫}_{K} \to {ℬ 𝒫}_{L}$ (as a capitulation morphism of ideal classes) in a $p$ -extension $L / K$ . In the cyclic case of degree $p$ , we prove that $j_{L / K}^{}$ is injective except if $L / K$ is kummerian, $p$ -ramified, non globally cyclotomic but locally cyclotomic at $p$ (Theorem 3.1). We give an explicit formula (Theorem 5.2) for $| {ℬ 𝒫}_{L}^{G} | . | {ℬ 𝒫}_{K} |^{- 1}$ and we show how its entirety depends on the torsion group $𝒯_{L}$ of the Galois group of the maximal abelian $p$ -ramified pro- $p$ -extension of $L$ , by using a suitable $p$ -adic logarithm.

Reçu le : 2015-12-17
Publié le : 2016-12-13

Zbl

DOI : 10.5802/pmb.o-3

Classification : 11R04, 11R11, 11R16
Mots-clés : Class field theory,

p

-ramification, Bertrandias–Payan module, capitulation of ideal classes, transfer map, Kummer theory

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Georges Gras. Sur le module de Bertrandias–Payan dans une $p$-extension – Noyau de capitulation. Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2016), pp. 25-44. doi : 10.5802/pmb.o-3. https://pmb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/pmb.o-3/

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