Sur le module de Bertrandias–Payan dans une $p$-extension – Noyau de capitulation

Georges Gras

doi:10.5802/pmb.o-3

Sur le module de Bertrandias–Payan dans une

p

-extension – Noyau de capitulation
[On the Bertrandias–Payan module in a $p$-extension – Capitulation kernel]

Georges Gras

Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2016), pp. 25-44.

Abstract
Résumé

For a number field $K$ and a prime number $p$ we denote by $B P_{K}$ the compositum of the cyclic $p$ -extensions of $K$ which are embeddable into a cyclic $p$ -extension of arbitrary large degree. The extension $B P_{K} / K$ is $p$ -ramified and is a finite extension of the compositum $\tilde{K}$ of the $ℤ_{p}$ -extensions of $K$ . The group ${ℬ 𝒫}_{K} : = Gal (B P_{K} / \tilde{K})$ is called the Bertrandias–Payan module. We study the transfer map $j_{L / K}^{} : {ℬ 𝒫}_{K} \to {ℬ 𝒫}_{L}$ (as a capitulation morphism of ideal classes) in a $p$ -extension $L / K$ . In the cyclic case of degree $p$ , we prove that $j_{L / K}^{}$ is injective except if $L / K$ is kummerian, $p$ -ramified, non globally cyclotomic but locally cyclotomic at $p$ (Theorem 3.1). We give an explicit formula (Theorem 5.2) for $| {ℬ 𝒫}_{L}^{G} | . | {ℬ 𝒫}_{K} |^{- 1}$ and we show how its entirety depends on the torsion group $𝒯_{L}$ of the Galois group of the maximal abelian $p$ -ramified pro- $p$ -extension of $L$ , by using a suitable $p$ -adic logarithm.

Pour un corps de nombres $K$ et un nombre premier $p$ on désigne par $B P_{K}$ le composé des $p$ -extensions cycliques de $K$ plongeables dans une $p$ -extension cyclique de degré arbitrairement grand. L’extension $B P_{K} / K$ est $p$ -ramifiée et extension finie du composé $\tilde{K}$ des $ℤ_{p}$ -extensions de $K$ . Le groupe ${ℬ 𝒫}_{K} : = Gal (B P_{K} / \tilde{K})$ est appelé le module de Bertrandias–Payan. Nous étudions l’application transfert $j_{L / K}^{} : {ℬ 𝒫}_{K} \to {ℬ 𝒫}_{L}$ (comme morphisme de capitulation de classes d’idéaux) dans une $p$ -extension $L / K$ . Dans le cas cyclique de degré $p$ , nous prouvons que $j_{L / K}^{}$ est injectif sauf si $L / K$ est kummerienne, $p$ -ramifiée, non globalement cyclotomique mais localement cyclotomique en $p$ (théorème 3.1). Nous donnons une formule explicite (théorème 5.2) pour $| {ℬ 𝒫}_{L}^{G} | . | {ℬ 𝒫}_{K} |^{- 1}$ et montrons de quelle façon son intégralité dépend du groupe de torsion $𝒯_{L}$ du groupe de Galois de la pro- $p$ -extension abélienne $p$ -ramifiée maximale de $L$ , en utilisant un logarithme $p$ -adique convenable.

Received: 2015-12-17
Published online: 2016-12-13

Zbl: 1406.11112

DOI: 10.5802/pmb.o-3

Classification: 11R04, 11R11, 11R16
Keywords: Class field theory, $p$-ramification, Bertrandias–Payan module, capitulation of ideal classes, transfer map, Kummer theory

@article{PMB_2016____25_0,
     author = {Georges Gras},
     title = {Sur le module de {Bertrandias{\textendash}Payan} dans une $p$-extension {\textendash} {Noyau} de capitulation},
     journal = {Publications math\'ematiques de Besan\c{c}on. Alg\`ebre et th\'eorie des nombres},
     pages = {25--44},
     publisher = {Presses universitaires de Franche-Comt\'e},
     year = {2016},
     doi = {10.5802/pmb.o-3},
     zbl = {1406.11112},
     language = {fr},
     url = {https://pmb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/pmb.o-3/}
}

TY  - JOUR
AU  - Georges Gras
TI  - Sur le module de Bertrandias–Payan dans une $p$-extension – Noyau de capitulation
JO  - Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres
PY  - 2016
SP  - 25
EP  - 44
PB  - Presses universitaires de Franche-Comté
UR  - https://pmb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/pmb.o-3/
UR  - https://zbmath.org/?q=an%3A1406.11112
UR  - https://doi.org/10.5802/pmb.o-3
DO  - 10.5802/pmb.o-3
LA  - fr
ID  - PMB_2016____25_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Georges Gras
%T Sur le module de Bertrandias–Payan dans une $p$-extension – Noyau de capitulation
%J Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres
%D 2016
%P 25-44
%I Presses universitaires de Franche-Comté
%U https://doi.org/10.5802/pmb.o-3
%R 10.5802/pmb.o-3
%G fr
%F PMB_2016____25_0

Georges Gras. Sur le module de Bertrandias–Payan dans une $p$-extension – Noyau de capitulation. Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2016), pp. 25-44. doi : 10.5802/pmb.o-3. https://pmb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/pmb.o-3/

References
Cited by

[AS] Angelakis, A. and Stevenhagen, P., Absolute abelian Galois groups of imaginary quadratic fields, In : proceedings volume of ANTS-X, UC San Diego 2012, E. Howe and K. Kedlaya (eds), OBS 1 (2013). | DOI | MR | Zbl

[AT] Artin, E. and Tate, J., Class field theory, Benjamin, New York, Amsterdam 1968 ; second edition : Advanced Book Classics, Addison-Wesley Publ. Comp., Redwood City 1990 ; Reprint of the 1990 second edition (2009).

[BP] Bertrandias, F. et Payan, J.-J., $Γ$ -extensions et invariants cyclotomiques, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 4, 5, (1972), 517–548. | DOI | MR | Zbl

[Cha] Charifi, A., Groupes de torsion attachés aux extensions Abéliennes $p$ -ramifiées maximales (cas des corps totalement réels et des corps quadratiques imaginaires), Thèse de $3^{e}$ cycle, Mathématiques, Université de Franche-Comté (1982), 50 pp.

[CK] Carroll, J.E. and Kisilevsky, H., Initial layers of $ℤ_{ℓ}$ -extensions of complex quadratic fields, Compositio Math., 32, (1976), 157–168. | Zbl

[Gr1] Gras, G., Class Field Theory. From theory to practice, SMM, Springer-Verlag 2003 ; second corrected printing 2005. | DOI | MR | Zbl

[Gr2] Gras, G., Groupe de Galois de la $p$ -extension abélienne $p$ -ramifiée maximale d’un corps de nombres, J. reine angew. Math., 333, (1982), 86–132. | DOI | Zbl

[Gr3] Gras, G., Logarithme $p$ -adique et groupes de Galois, J. reine angew. Math., 343, (1983), 63–80. | DOI | Zbl

[Gr4] Gras, G., Plongements kummeriens dans les $ℤ_{p}$ -extensions, Compos. Math., 55, (1985), 383–396. | Zbl

[Gr5] Gras, G., Remarks on $K_{2}$ of number fields, Jour. Number Theory, 23, (1986), 322–335. | DOI | Zbl

[Gr6] Gras, G., On the structure of the Galois group of the Abelian closure of a number field, Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 26, no. 3 (2014), 635–654. | DOI | MR

[Gr7] Gras, G., Les $θ$ -régulateurs locaux d’un nombre algébrique – Conjectures $p$ -adiques, Canadian Journal of Mathematics, 68, (2016), 571–624. | DOI | Zbl

[Gre] Greenberg, R., Galois representations with open image, Annales de Mathématiques du Québec, special volume in honor of Glenn Stevens, 40, 1, (2016), 83–119. | DOI | MR

[GrJ] Gras, G. et Jaulent, J.-F., Sur les corps de nombres réguliers, Math. Z., 202, (1989), 343–365. | DOI | Zbl

[Ha] Hajir, F., Tame pro- $p$ Galois groups : a survey of recent work, Proceedings of the $9$ th conference on Algebraic Geometry and Coding Theory, Luminy (2004). | Zbl

[He] Hemard, D., Modules galoisiens de torsion et plongements dans les $ℤ_{p}$ -extensions, Journal of Number Theory, 30, 3 (1988), 357–374. | DOI | Zbl

[HM1] Hajir, F. and Maire, Ch., On the invariant factors of class groups in towers of number fields, preprint (2015). Disponible à | DOI | MR | Zbl

[HM2] Hajir, F. and Maire, Ch., Prime decomposition and the Iwasawa $μ$ -invariant, preprint (2016). Disponible à | DOI | MR

[Ja1] Jaulent, J.-F., L’arithmétique des $ℓ$ -extensions (Thèse d’Etat, Université de Franche-Comté, Besançon), Publ. Math. Fac. Sci. Besançon (Théorie des Nombres), Années 1984/86.

[Ja2] Jaulent, J.-F., $S$ -classes infinitésimales d’un corps de nombres algébriques, Ann. Sci. Inst. Fourier, 34, (1984), 1–27. | DOI | Zbl

[Ja3] Jaulent, J.-F., La Théorie de Kummer et le $K_{2}$ des corps de nombres, J. Théorie des Nombres de Bordeaux, 2, (1990), 377–411. | DOI | Zbl

[Ja4] Jaulent, J.-F., Théorie $ℓ$ -adique globale du corps de classes, J. Théorie des Nombres de Bordeaux 10, 2 (1998), 355–397. | DOI | Zbl

[Ja5] Jaulent, J.-F., Sur les normes cyclotomiques et les conjectures de Leopoldt et de Gross-Kuz’min, preprint 2015. Disponible à | DOI | MR | Zbl

[JaM1] Jaulent, J.-F. et Maire, C., A propos de la tour localement cyclotomique d’un corps de nombres, Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg, 70, (2000), 239–250 ; | DOI | Zbl

[JaM2] Jaulent, J-F. et Maire, C., Radical hilbertien et tour localement cyclotomique, Jap. J. Math., New Ser., 28, 2 (2002), 203–213. | DOI | MR | Zbl

[JaNg] Jaulent, J.-F. et Nguyen Quang Do, T., Corps $p$ -rationnels, corps $p$ -réguliers et ramification restreinte, J. Théorie des Nombres de Bordeaux, 5, (1993), 343–363. | DOI | Zbl

[JaPMB] Jaulent, J.-F., Sur la capitulation pour le module de Bertrandias-Payan, dans ce volume. | Zbl

[JaS] Jaulent, J.-F. et Soriano, F., Sur les tours localement cyclotomiques, Archiv. Math. (1999), 132–140. | DOI | MR | Zbl

[Ko] Koch, H., Galois Theory of $p$ -extensions, Springer Monographs in Mathematics, Springer 2002. | Zbl

[Kub] Kubota, T., Galois group of the maximal abelian extension of an algebraic number field, Nagoya Math. J., 12, (1957), 177–189. | DOI | MR | Zbl

[Mai1] Maire, Ch., Sur la dimension cohomologique des pro- $p$ -extensions des corps de nombres, J. Th. des Nombres de Bordeaux, 17, 2, (2005), 575–606. | DOI | MR | Zbl

[Mai2] Maire, Ch., Sur la structure Galoisienne de certaines pro- $p$ -extensions de corps de nombres, Mathematische Zeitschrift, 267, (2011), 887–913. | DOI | MR | Zbl

[Mi] Miki, H., On the maximal Abelian $ℓ$ -extension of a finite algebraic number field with given ramification, Nagoya Math. J., 70, (1978), 183–202. | DOI | MR | Zbl

[Mo] Movahhedi, A., Sur les $p$ -extensions des corps $p$ -rationnels, Math. Nachr., 149, (1990), 163–176. | DOI | Zbl

[MoNg1] Movahhedi, A. et Nguyen Quang Do, T., Sur l’arithmétique des corps de nombres $p$ -rationnels, Sém. Théorie des Nombres, Paris (1987/89), Progress in Math., 81, Birkhäuser (1990), 155–200. | DOI

[MoNg2] Movahhedi, A., and Nguyen Quang Do, T., On universal norms and the first layers of $ℤ_{p}$ -extensions of a number field, Math. Annalen, 362, (2015), 817–838. | DOI | MR | Zbl

[Ng1] Nguyen Quang Do, T., Sur la $ℤ_{p}$ -torsion de certains modules galoisiens, Ann. Inst. Fourier, 36, (1986), 27–46. | DOI | MR | Zbl

[Ng2] Nguyen Quang Do, T., Formations de classes et modules d’Iwasawa, Noordwijkerhout 1983, Lecture Notes in Math., 1068, Springer 1984, 167–185. | DOI

[NgPMB] Nguyen Quang Do, T., Descente galoisienne et capitulation entre modules de Bertrandias–Payan, dans ce volume. | Zbl

[PV] Pitoun, F. and Varescon, F., Computing the torsion of the $p$ -ramified module of a number field, Math. Comp., published electronically, 84, (2015), 371–383. | DOI | MR | Zbl

[Seo1] Seo, S., On first layers of $ℤ_{p}$ -extensions II, Acta Arith., 150, (2011), no. 4, 385-397. | DOI | Zbl

[Seo2] Seo, S., On first layers of $ℤ_{p}$ -extensions, Journal of Number Theory, 133, (2013), 4010–4023. | DOI | Zbl

[Seo3] Seo, S., On the Tate module of a number field (ASARC). Preprint 13-06 (2013). Disponible à .

[Seo4] Seo, S., On the universal norm group of the global units and the $p$ -units (preprint, 2014). Disponible à

[Seo5] Seo, S., On the conjectures of Gross and Leopoldt (ASARC). Disponible à | DOI | MR | Zbl

[Seo6] Seo, S., On torsion towers of the maximal finitely-ramified Abelian $p$ -extensions (preprint, private communication, 2015).

[Th] Thomas H., Étage initial d’une $ℤ_{p}$ -extension, Manuscripta Mathematica, 81, 1 (1993), 413–435. | DOI | Zbl

[Wa] Washington, L.C., Introduction to cyclotomic fields, Graduate Texts in Math. 83, Springer enlarged second edition 1997. | DOI

Cited by Sources:

Publications Mathématiques de Besançon

Algèbre et Théorie des Nombres