Descente galoisienne et capitulation entre modules de Bertrandias-Payan

Thong Nguyen Quang Do

doi:10.5802/pmb.o-5

Thong Nguyen Quang Do

Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2016), pp. 59-79.

Résumé
Abstract

Étant donné un corps de nombres $K$ et un nombre premier $p$ , le « corps de Bertrandias-Payan » associé, $B P_{K}$ , est le compositum de toutes les extensions $p$ -cycliques de $K$ qui peuvent se plonger dans des $p$ -extensions cycliques de degré arbitrairement grand. La $ℤ_{p}$ -torsion ${ℬ𝒫}_{K}$ du groupe $Gal (B P_{K} / K)$ , appelée « module de Bertrandias-Payan » attaché au corps $K$ , possède une interprétation algébrique (obstruction à un problème de plongement) et arithmétique (fonctions $L$ $p$ -adiques) intéressante. Pour une extension galoisienne finie $L / K$ de groupe de Galois $G$ , notre but est d’étudier le noyau et le conoyau du morphisme de transfert (ou capitulation) ${ℬ𝒫}_{K} \to {ℬ𝒫}_{L}^{G}$ .

Given a number field $K$ and a prime $p$ , the associated « field of Bertrandias-Payan », $B P_{K}$ , is the compositum of all the cyclic $p$ -extensions of $K$ which are embeddable into cyclic $p$ -extensions of arbitrary large degree. The $ℤ_{p}$ -torsion ${ℬ𝒫}_{K}$ of the group $Gal (B P_{K} / K)$ , called the « Bertrandias-Payan module » attached to $K$ , has an algebraic meaning (obstruction to an embedding problem) as well as an arithmetic interest ( $p$ -adic $L$ -functions). For a finite Galois extension $L / K$ with Galois group $G$ , we aim to study the kernel and cokernel of the so called transfer (or capitulation) morphism ${ℬ𝒫}_{K} \to {ℬ𝒫}_{L}^{G}$ .

Reçu le : 2016-12-01
Publié le : 2016-12-13

Zbl

DOI : 10.5802/pmb.o-5

Classification : 11R37, 11R34, 11R23
Mots-clés :

Z_{p}

-torsion,

Z_{p}

-ramification, capitulation, embedding problem

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TY  - JOUR
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Thong Nguyen Quang Do. Descente galoisienne et capitulation entre modules de Bertrandias-Payan. Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2016), pp. 59-79. doi : 10.5802/pmb.o-5. https://pmb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/pmb.o-5/

Bibliographie
Cité par

[G1] G. Gras, Sur le module de Bertrandias-Payan dans une $p$ -extension : noyau de capitulation, dans ce volume. | Zbl

[G2] G. Gras, Logarithme p-adique et groupes de Galois, J. reine angew. Math. 343 (1983), 63-80. | DOI | Zbl

[G3] G. Gras, Class Field Theory. From theory to practice, SMM, Springer Verlag, 2nd edition (2005). | DOI | MR

[Gb] R. Greenberg, On the Iwasawa invariants of totally real number fields, Amer. J. Math., 98 (1976), 263-284. | DOI | MR | Zbl

[H] K. Hoechsmann, Zum Einbettungsproblem, J. reine angew. Math. 229 (1968), 81-106. | DOI | MR

[J1] J.-F. Jaulent, Sur la capitulation pour le module de Bertrandias-Payan, dans ce volume. | Zbl

[J2] J.-F. Jaulent, Classes logarithmiques des corps de nombres, J. Théorie des Nombres Bordeaux 6 (1994), 301-325. | DOI | MR | Zbl

[K] N. Klingen, Das Einbettungsproblem für algebraische Zahlkörper bei Beschränkung der Verzweigung, J. reine angew. Math. 334 (1982), 91-115. | DOI | Zbl

[KM] M. Kolster, A. Movahhedi, Galois co-descent for étale wild kernels and capitulation, Ann. Inst. Fourier, 50, 1 (2000), 35-65. | DOI | Zbl

[LMN] M. Le Floc’h, A. Movahhedi, T. Nguyen Quang Do, On capitulation cokernels in Iwasawa theory, Amer. J. Math., 127, 4 (2005), 851-877. | DOI | MR | Zbl

[McS] W. McCallum, R. Sharifi, A cup product in the Galois cohomology of number fields, Duke Math. J. 120 (2003), 269-310. | DOI | MR | Zbl

[MN] A. Movahhedi, T. Nguyen Quang Do, Sur l’arithmétique des corps de nombres $p$ -rationnels, dans « Séminaire de Théorie des Nombres Paris 1987-88 », Birkhäuser Progress in Math. (1990), 155-200. | DOI

[N1] T. Nguyen Quang Do, Sur la $ℤ_{p}$ -torsion de certains modules galoisiens, Ann. Inst. Fourier 36, 2 (1986), 27-46. | DOI | MR | Zbl

[N2] T. Nguyen Quang Do, Sur la torsion de certains modules galoisiens II, dans « Séminaire de Théorie des Nombres Paris », 1986-87, Birkhäuser Progress in Math. (1989), 271-297.

[N3] T. Nguyen Quang Do, Formations de classes et modules d’Iwasawa, dans « Number Theory, Noordwijkerhout », ed. H. Jager, Springer LNM (1984), 167-185. | DOI | Zbl

[N4] T. Nguyen Quang Do, Sur la cohomologie de certains modules galoisiens $p$ -ramifiés, dans « Théorie des Nombres », Laval, ed. J-M. De Koninck et C. Levesque, W. de Gruyter (1989), 740-753. | DOI | Zbl

[N5] T. Nguyen Quang Do, Étude kummerienne de la $q$ -suite centrale descendante, Publ. Math. Besançon 2 (2012), 123-139. | Zbl

[NN] T. Nguyen Quang Do, V. Nicolas, Nombres de Weil, sommes de Gauss et annulateurs galaoisiens, Amer. J. Math. 133, 6 (2011), 1533-1571. | DOI | MR | Zbl

[S] S. Seo, On torsion towers of Bertrandias and Payan $p$ -extensions, communication privée, preprint, (2015). | DOI | MR

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