Sur le module de Bertrandias–Payan dans une p-extension – Noyau de capitulation
Publications Mathématiques de Besançon (2016), pp. 25-44.

Pour un corps de nombres K et un nombre premier p on désigne par BP K le composé des p-extensions cycliques de K plongeables dans une p-extension cyclique de degré arbitrairement grand. L’extension BP K /K est p-ramifiée et extension finie du composé K ˜ des p -extensions de K. Le groupe 𝒫 K := Gal (BP K /K ˜) est appelé le module de Bertrandias–Payan. Nous étudions l’application transfert j L/K :𝒫 K 𝒫 L (comme morphisme de capitulation de classes d’idéaux) dans une p-extension L/K. Dans le cas cyclique de degré p, nous prouvons que j L/K est injectif sauf si L/K est kummerienne, p-ramifiée, non globalement cyclotomique mais localement cyclotomique en p (théorème 3.1). Nous donnons une formule explicite (théorème 5.2) pour |𝒫 L G |.|𝒫 K | -1 et montrons de quelle façon son intégralité dépend du groupe de torsion 𝒯 L du groupe de Galois de la pro-p-extension abélienne p-ramifiée maximale de L, en utilisant un logarithme p-adique convenable.

For a number field K and a prime number p we denote by BP K the compositum of the cyclic p-extensions of K which are embeddable into a cyclic p-extension of arbitrary large degree. The extension BP K /K is p-ramified and is a finite extension of the compositum K ˜ of the p -extensions of K. The group 𝒫 K := Gal (BP K /K ˜) is called the Bertrandias–Payan module. We study the transfer map j L/K :𝒫 K 𝒫 L (as a capitulation morphism of ideal classes) in a p-extension L/K. In the cyclic case of degree p, we prove that j L/K is injective except if L/K is kummerian, p-ramified, non globally cyclotomic but locally cyclotomic at p (Theorem 3.1). We give an explicit formula (Theorem 5.2) for |𝒫 L G |.|𝒫 K | -1 and we show how its entirety depends on the torsion group 𝒯 L of the Galois group of the maximal abelian p-ramified pro-p-extension of L, by using a suitable p-adic logarithm.

Reçu le : 2015-12-17
Publié le : 2016-12-13
DOI : https://doi.org/10.5802/pmb.o-3
Classification : 11R04,  11R11,  11R16
Mots clés: Class field theory, p-ramification, Bertrandias–Payan module, capitulation of ideal classes, transfer map, Kummer theory
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     author = {Georges Gras},
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Georges Gras. Sur le module de Bertrandias–Payan dans une $p$-extension – Noyau de capitulation. Publications Mathématiques de Besançon (2016), pp. 25-44. doi : 10.5802/pmb.o-3. https://pmb.centre-mersenne.org/item/PMB_2016____25_0/

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