An Integral Digit Derivative Basis for Carlitz Prime Power Torsion Extensions

Andreas Maurischat; Rudolph Perkins

doi:10.5802/pmb.32

Andreas Maurischat ¹; Rudolph Perkins ²

¹ Lehrstuhl A für Mathematik, RWTH Aachen University, Germany
² IWR, University of Heidelberg, Im Neuenheimer Feld 205, 69120 Heidelberg, Germany

Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres, no. 1 (2019), pp. 131-149.

Abstract
Résumé

We build on work of Anglès–Pellarin concerning evaluations of the Anderson–Thakur function and its hyperderivatives at roots of unity.

Let $𝔭$ be a monic irreducible polynomial in $A : = 𝔽_{q} [θ]$ , the ring of polynomials in the indeterminate $θ$ over the finite field $𝔽_{q}$ , let $ζ$ be a root of $𝔭$ in an algebraic closure of $𝔽_{q}$ , and let $K : = 𝔽_{q} (θ)$ . For each positive integer $n$ , let $λ_{n}$ be a generator of the $A$ -module of Carlitz $𝔭^{n}$ -torsion. We give a basis for the ring of integers $A [ζ, λ_{n}] \subset K (ζ, λ_{n})$ over $A [ζ] \subset K (ζ)$ which consists of monomials in the hyperderivatives of the Anderson–Thakur function $ω$ evaluated at the roots of $𝔭$ , and which, after suitable ordering, provides an upper triangular, block diagonal representation of the action of Galois. For each $n \geq 2$ , we also give an explicit integral element whose Galois orbit provides a field normal basis for the extension $K (ζ, λ_{n}) / K (ζ, λ_{1})$ .

Nous développons le travail d’Anglès–Pellarin sur l’évaluation aux racines de l’unité de la fonction d’Anderson–Thakur et de ses hyperdérivées.

Soit $𝔭$ un polynôme irréductible unitaire dans $A = 𝔽_{q} [θ],$ l’anneau des polynômes en l’indéterminée $θ$ et à coefficients dans le corps fini $𝔽_{q},$ soit $ζ$ une racine de $𝔭$ dans une clôture algébrique de $𝔽_{q},$ et soit $K = 𝔽_{q} (θ) .$ Pour chaque entier $n,$ soit $λ_{n}$ une générateur du $A$ -module des points de $𝔭^{n}$ -torsion du module de Carlitz. Nous donnons une base pour l’anneau des entiers $A [ζ, λ_{n}] \subset K (ζ, λ_{n})$ sur $A [ζ] \subset K (ζ)$ qui consiste en les monômes des hyperdérivées de la fonction d’Anderson–Thakur $ω$ évaluée aux racines de $𝔭,$ et qui, après un ordre convenable, fournit une représentation triangulaire supérieure, diagonale par bloc de l’action de Galois. Pour chaque $n \geq 2,$ nous donnons aussi un élément entier dont l’orbite galoisienne fournit une base normale du corp pour l’extension $K (ζ, λ_{n}) / K (ζ, λ_{1})$ .

Received: 2017-01-25
Published online: 2019-10-15

DOI: 10.5802/pmb.32

Classification: 11G09, 11R60, 11M38
Keywords: Anderson–Thakur function, Carlitz module, Goss $L$-series

Author's affiliations:

Andreas Maurischat ¹; Rudolph Perkins ²

¹ Lehrstuhl A für Mathematik, RWTH Aachen University, Germany
² IWR, University of Heidelberg, Im Neuenheimer Feld 205, 69120 Heidelberg, Germany

License:

CC-BY-ND 4.0

Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights

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